Μια φορά κι έναν καιρό, οι αρχαίοι λαοί αναλώνονταν σε προλήψεις, μύθους και δεισιδαιμονίες. Όμως ξαφνικά... ΜΠΑΜ! Ηρόδοτος! Ευκλείδης! Αριστοτέλης! Πλάτωνας! Αρχιμήδης! Ερατοσθένης! Οι αρχαίοι Έλληνες λύτρωσαν την ανθρωπότητα από το ζόφο των προλήψεων, έδωσαν τα φώτα, βάλαν τις βάσεις της επιστήμης, της φιλοσοφίας, της ιστορίας, των μαθηματικών, της γεωμετρίας, της αστρονομίας κ.α. Και ζήσαν αυτοί καλά κι εμείς καλύτερα.
Κάπως έτσι δεν τα μάθαμε στο σχολείο; Ναι, κάπως έτσι. Το 'χετε σκεφτεί κι εσείς πως ό,τι μας μάθαν στο σχολείο ήταν λάθος;... α, ώστε το 'χετε σκεφτεί κι εσείς.
Διάφορα πράγματα δεν κολλούσαν καλά μ' αυτήν την εικόνα, από τον καιρό του σχολείου ακόμα. Π.χ. μαθαίναμε για διάφορους Έλληνες που μήδισαν. Γιατί δεν υπήρχαν αντίστοιχοι Πέρσες που "ελλήνισαν"; Μα ο ελληνικός δεν ήταν ο σπουδαίος πολιτισμός τότε;
Ή επίσης ο θαυμασμός των αρχαίων Ελλήνων για την ακόμα πιο αρχαία Αίγυπτο και Βαβυλώνα (τότε πρέπει να τη λέγαν "Χαλδαία"). Ας πούμε, φαίνεται η εκτίμηση του Πλάτωνα για την Αίγυπτο στα έργα του. Ενώ Θαλής, Πυθαγόρας, Σόλωνας, Πλάτωνας, Ηρόδοτος κι άλλες σπουδαίες μορφές, θρυλλείτο ότι ταξίδεψαν σε Βαβυλώνα και Αίγυπτο ("το δώρο του Νείλου") να διδαχθούν την κρυμμένη γνώση τους. Φαλτσάρουν αυτά με την καθιερωμένη ερμηνεία του αρχαίου κόσμου. Η σχολική εικόνα μυρίζει.
Όπως μυρίζει αμπάρι σε παλιό σκαρί χτισμένο τότε στον Ευφράτη, στη Φοινίκη.
* * * * * *
Κοιτούσα κάποια πράγματα για τους αρχαίους Βαβυλώνιους. Τρία μόνο παραδείγματα:
1) Το πιο γνωστό θεώρημα των Μαθηματικών είναι το Πυθαγόρειο Θεώρημα.
Το "Πυθαγόρειο";
To 1945 έγινε η αποκρυπτογράφηση της πήλινης πινακίδας Plimpton 322 των αρχαίων Βαβυλώνιων, που δεν αφήνει αμφιβολία ότι η Μεσοποταμία ήξερε το Πυθαγόρειο Θεώρημα τουλάχιστον από το 1800 π.Χ. Ο Neugebauer που έκανε την αποκρυπτογράφηση κάπου σχολιάζει: "Κανονικά, το Πυθαγόρειο Θεώρημα πρέπει να μετονομαστεί σε Βαβυλώνιο Θεώρημα".
Βέβαια, δεν θα γίνει ποτέ αυτό, ο όρος κόλλησε για τα καλά - ερήμην των Πυθαγόρειων, οι οποίοι, απ' όσο ξέρω, δε διεκδίκησαν κάποια μοναδικότητα. Ας προσθέσουμε στην εικόνα και τα (πραγματικά; θρυλικά;) ταξίδια που
αποδίδονταν στον Πυθαγόρα, ότι μαθήτευσε σε Βαβυλώνα, Αίγυπτο, Περσία. Ακόμα κι αν τα ταξίδια αυτά ήταν θρυλικά, δεν παύει να ήταν ο τρόπος των
αρχαίων να υποδηλώσουν την επιρροή του Δασκάλου από βαβυλωνιακές, αιγυπτιακές, περσικές πηγές.
Κι η αρχαία Αίγυπτος μοιάζει πως ήξερε το Βαβυλώνιο Θεώρημα τουλάχιστον 1200 χρόνια πριν τους Πυθαγόρειους. Όμως τι στο καλό; Οι Αιγύπτιοι είχαν και την έννοια της συνεφαπτομένης, ίσως από τον καιρό των Πυραμίδων ακόμα. Ε, πόσο πιθανό το βρίσκετε να μην ήξεραν το Βαβυλώνιο Θεώρημα; Και μάλιστα από μια εποχή που ήταν αρχαία και για τους Αρχαίους Έλληνες;
2) Στο σχολείο μαθαίναμε ότι οι άρρητοι αριθμοί ήταν ανακάλυψη των Πυθαγόρειων (οι αρχαίοι δεν το λέγαν έτσι, λέγαν "ασύμμετρα γεωμετρικά μεγέθη"). Μια τυπική ιστορική αναδρομή για τους άρρητους αριθμούς οφείλει να ξεκινά από τους Πυθαγόρειους και τον Ίππασο: ιστοριογραφικά απομεινάρια του 19ου αιώνα...
Σήμερα έχει αποκρυπτογραφηθεί η πήλινη πινακίδα YBC 7289 των αρχαίων Βαβυλώνιων. Που υποδεικνύει ότι γνώριζαν για τους άρρητους αριθμούς πάνω από μια χιλιετία πριν τους Πυθαγόρειους.
Όμως, όσο έχω καταλάβει για το σύνολο του αρχαίου κόσμου, τότε δεν πρέπει να υπήρχε η έννοια της κατοχύρωσης πνευματικών δικαιωμάτων, της λογοκλοπής, της πατέντας! Όλοι δανείζονταν από όλους. Όλοι κατέθεταν σ' ένα κοινό ταμείο για όλους. Δε νομίζω ότι οι αρχαίοι θα 'χαν πρόβλημα να παραδεχθούν ότι είναι ετερόφωτοι. Εμείς είμαστε που προβάλουμε πάνω τους τα δικά μας κόμπλεξ.
3) Πρόσφατα επισημάνθηκε ότι οι Βαβυλώνιοι μοιάζει πως είχαν και την έννοια του ολοκληρώματος(ή έστω των αθροισμάτων Riemann) κοντά 2000 χρόνια πριν τον Νεύτωνα, και την έννοια των καρτεσιανών συντεταγμένων πολλούς αιώνες πριν τον Καρτέσιο: "Ήταν πάρα, πάρα πολύ έξυπνοι. Κι όσο περισσότερα μαθαίνουμε γι' αυτούς, τόσο πιο εντυπωσιακό κι αξιοσημείωτο γίνεται".
Αυτά είναι πολύ πρόσφατα, οι σχετικές πήλινες πινακίδες αποκρυπτογραφήθηκαν μόλις τα τελευταία τέσσερα χρόνια.
* * * * * *
Ποια θα μπορούσε να είναι μια εναλλακτική εικόνα του αρχαίου κόσμου από τη σχολική που διδαχθήκαμε; Ας
πούμε, πως ήταν πολιτική απόφαση του 19ου αιώνα η εκτόξευση της Ελλάδας σε ύψη παγκόσμιας μοναδικότητας. Ο 19ος ήταν ο αιώνας της
αποικιοκρατίας, που οι Ευρωπαίοι εκπολίτιζαν Ασιάτες, Αφρικανούς,
Νοτιοαμερικάνους (και τους φόρτωναν το λογαριασμό). Οπότε, έπρεπε να
υπάρχει μια εξιλεωτική αφήγηση για την ιστορική ιδιαιτερότητα της
Ευρώπης: ναι μεν τους ληστεύουμε, τους σκλαβώνουμε, τους σκοτώνουμε,
όμως τους φέρνουμε κάτι αποκλειστικά δικό μας, τον πολιτισμό. Πάνω εκεί, οι αρχαίοι Έλληνες βρέθηκαν
βολικοί. Μπορούσαν να θεωρηθούν "Ευρωπαίοι", κι η γλώσσα τους πιο
συγγενής με τις ευρωπαϊκές απ' ό,τι π.χ. η γλώσσα των αρχαίων Περσών ή
Κινέζων. Άρα
αποφασίζουμε ότι ο πολιτισμός ξεκίνησε από τους "Έλληνες", δηλαδή την
Ευρώπη.
Δεν ήταν δυνατόν να επιλεχθεί π.χ. η αρχαία Αίγυπτος. Τι δηλαδή; Ο πολιτισμός ξεκίνησε από Αφρικανούς; Μαύρους;!
(ο 19ος ήταν ο αιώνας του ρατσισμού, σιγά-σιγά ήρθε κι η ευγονική, κι ο
κοινωνικός δαρβινισμός). Ή να επιλεχθεί π.χ. η αρχαία Μεσοποταμία.
Δηλαδή, ο πολιτισμός ξεκίνησε από σημιτικούς λαούς;! (ο 19ος ήταν
κι ο αιώνας του αντισημιτισμού). Όχι, οι Έλληνες βολεύουν. Όλοι οι
προηγούμενοι πρέπει να θεωρηθούν ανώριμοι και πρώιμοι.
Από την άλλη, στους αρχαίους Έλληνες υπήρχε θαυμασμός για τους ακόμα πιο αρχαίους Βαβυλώνιους. Στους Βαβυλώνιους υπήρχε θαυμασμός για τους ακόμα πιο αρχαίους Σουμέριους. Σε όλους τους αρχαίους λαούς βρίσκεις τακτικά το αντίθετο από τη σύγχρονη ιδέα της προόδου, κάθε τόσο σκοντάφτεις πάνω στην ιδέα της αντιπροόδου. Συνήθως το εξέφραζαν: "η παλιά χρυσή εποχή που χάθηκε ανεπιστρεπτί", ήταν η συνηθέστερη διατύπωση των αρχαίων να εκφράσουν την αντιπρόοδο. Στο φινάλε, αφού ισχυριζόμαστε ότι τιμούμε τόσο πολύ τον Πλάτωνα, γιατί δεν ακούμε τα δικά του λόγια; Από τον Φίληβο:
ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Οι παλιότεροι άνθρωποι, που ήταν καλύτεροι από μας και πιο κοντά στους θεούς κ.λπ.
Δεν επισημαίνουν όλοι οι μελετητές του Πλάτωνα ότι ο Δάσκαλος δεν γράφει ποτέ κάτι τυχαία;
Φοβάμαι πως οι εξωγήινοι που μας παρακολουθούν διακριτικά τις τελευταίες χιλιετίες (ως γνωστόν, οι εξωγήινοι ζουν 60.000 χρόνια), σχολιάζουν για μας: "Όλα όσα τους μαθαίνουν στο σχολείο είναι λάθος"... Η εικόνα του αρχαίου κόσμου που διδαχθήκαμε είναι εξαιρετικά ελλιπής. Για να μην πω, στρεβλή. Για να μην πω, πολιτικώς ύποπτη. Μας τρέφει, τρέφεται από μας, και μας σκοτώνει.
αυτό που φαίνεται να έγινε είναι ότι οι Βαβυλώνιοι συσσώρευσαν παρατηρήσεις κ οι διαίσθησή τους για το πώς γενικεύονται ήταν στην σωστή κατεύθυνση. είναι σίγουρο ότι κανένας δεν ξυπνάει ένα πρωί για να αποδείξει το Πυθαγόρειο θεώρημα αν δεν έχει πειστικές ενδείξεις για το ότι είναι αληθές, και η συσσώρευση ενδείξεων τότε ήταν επίπονη κ απαιτούσε πολλή δουλειά, την οποία την έκαναν οι Βαβυλώνιοι, και πολύ χρόνο.
αυτό που φαίνεται να ήταν εκτός της εμβέλειας της Βαβυλωνιακής επιστήμης και φαίνεται να ήταν η βασική συμβολή των αρχαίων ελληνικών μαθηματιών, είναι η συστηματοποίηση και η αφαίρεση.
χονδρικά, οι Βαβυλώνιοι και οι Αιγύπτιοι γνώριζαν τριγωνομετρία, αλλά στο επίπεδο της πράξης, την γνώριζαν ως μηχανικοί. είχαν όμως την περιέργεια του μαθηματικού (οι προσεγγίσεις που είχαν για την ρίζα του 2 ή για το πι ξεπερνούσαν κατά πολύ την αναγακαία ακρίβεια για τις κατασκευές τους) και άνοιξαν τον δρόμο για την συστηματοποίηση κ την αφαίρεση απ' τους αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς.
είναι σίγουρο, όπως λες κ συ, ότι είναι έγκλημα κατά της ιστορικής αλήθειας να παρουσιάζεται ως παρθενογένεση η απόδειξη του θεωρήματος απ' τον Πυθαγόρα. η αλήθεια του ήταν γνωστή από αιώνες, αλλά ήταν γνωστή μέσω της ατελούς επαγωγικής μεθόδου.
το ίδιο ισχύει πιθανότατα και για τον ολοκληρωτικό λογισμό. ο Αρχιμήδης έφτασε πολύ κοντά στο παλίμψηστό του, αλλά δεν υπάρχει κανένας λόγος σιγουριάς ότι δεν υπήρξαν απόπειρες πιο πριν, και αν υπάρχουν κ ενδείξεις μπορούμε να είμαστε αρκετά σίγουροι (δυστυχώς δεν έχω πρόσβαση στο άρθρο που αναφέρεις)
Ο Feynman τα εξηγεί ωραία και διασκεδαστικά εδώ
https://www.youtube.com/watch?v=YaUlqXRPMmY
και αν έχεις το κουράγιο κ τα γαλλικά σου το επιτρέπουν, ο μεγάλος μαθηματικός V.I.Arnol'd λέει αντίστοιχα πράγματα εδώ
Δεν τους έχω για αφελείς προληπτικούς τους (πολύ) αρχαίους. Ούτε για ανίκανους στον θεωρητικό τρόπο σκέψης και στην αφαίρεση - το ΑΚΡΙΒΩΣ αντίθετο. Απλώς είχαν έναν εντελώς διαφορετικό τρόπο έκφρασης και διατύπωσης από τον δικό μας, πολύ πιο ποιητικό και αλληγορικό απ' ό,τι έχουμε συνηθίσει εμείς σήμερα.
Μη μου βάζεις Feynman, συγνώμη κιόλας. Τα διάβαζα αυτά όταν ήμουν νέος. Τώρα έχω πάρει διαζύγιο μ' όλα τους. Τώρα όσο πιο αρχαίο, τόσο πιο καλό. "Οι παλιότεροι άνθρωποι, που ήταν καλύτεροι από μας και πιο κοντά στους θεούς".
ΥΓ: Στο άρθρο ούτε εγώ έχω πρόσβαση, το abstract μόνο διαβάζω. Αν οι Βαβυλώνιοι υπολόγιζαν το εμβαδό κάτω από την καμπύλη σ' ένα διάγραμμα ταχύτητας - χρόνου για να βρουν τη θέση του Δία, τότε καταλαβαίνω ότι κάναν κάτι σαν αθροίσματα Riemann / ολοκληρώματα
απ' τον τρόπο που φαίνεται να έκαναν τους υπολογισμούς τους, δεν προκύπτει επ' ουδενί (απ' όσο έχω καταλάβει, δεν είμαι ιστορικός των μαθηματικών) να είχαν αξιωματικοποιήσει τα μαθηματικά ή την γεωμετρία και να είχαν τυπικές (formal) αποδεικτικές μεθόδους γενικών θεωρημάτων, κάτι το οποίο (πάλι απ' ό,τι φαίνεται) κατάφεραν πρώτοι οι αρχαίοι έλληνες σ' αυτήν την μεριά του κόσμου.
στην ίνδία κ την κίνα υπήρχαν επίσης απόπειρες για εξερεύνηση των ίδιων προβλημάτων με παραπλήσιες μεθόδους, σε παραπλήσιους χρόνους (ίσως λίγο νωρίτερα, ίσως λίγο αργότερα, δεν έχει και τόση σημασία)
αυτό δεν μειώνει καθόλου την συμβολή τους και την σημασία της, απλά βάζει τα πράγματα στην ιστορικά σωστή τους κλίμακα και προοπτική. άλλωστε η αφαίρεση, η γενίκευση και η τυποποίηση απαιτούν συσσώρευση μεμονωμένων περιπτώσεων. δεν κατάφερε η ανθρωπότητα να αυτοματοποιήσει την παραγωγή εργαλείων με το που εφήυρε το τσεκούρι. χρειάστηκε να φτιαχτούν πάρα πολλά τσεκούρια για να τεθεί το ζήτημα της αυτοματοποίησης της παραγωγής εργαλείων.
για τα ολοκληρώματα: μπορώ πολύ εύκολα να πιστέψω ότι ήταν η πρώτη έκφανση αυτού του τρόπου υπολογισμού εμβαδών, και είναι εξαιρετικά σημαντικό. αλλά πάλι μπαίνει το ζήτημα της μεθόδου και της γενικευσιμότητας. δεν θα ήταν πρωτόγνωρο κάποιος να βρεθεί αιώνες μπροστά απ' την εποχή του
ο νεύτωνας, πχ, έκανε υπολογισμούς που ακουμπάνε την ανάλυση φουριέ 2-3 αιώνες πριν υπάρξει η ανάλυση φουριέ. όταν όμως θελήσουμε να αποδώσουμε την κατανόηση του πλήρους βάθους και της σημασίας της ανάλυσης φουριέ στον νεύτωνα, θέλει προσοχή
Με μια σημαντική διαφορά. Έχουμε τα πάντα από τον Νεύτωνα, δεν έχουμε παρά ελάχιστα από τους Βαβυλώνιους. Σαν να προσπαθείς να καταλάβεις ένα παζλ 1000 κομματιών από 40–50 κομμάτια που έτυχε να σωθούν, να ανασυνθέσεις έτσι την εικόνα.
Και με μια αβυσσαλέα διαφορά: σε τόσο αρχαϊκές εποχές, τα Μαθηματικά είχαν κοσμική σημασία. Δεν ήταν τα μαθηματικά που συνηθίσαμε εμείς.
Ένας μακρινός απόηχος απ’ αυτήν την αρχαϊκή σπουδαιότητα των Μαθηματικών έμεινε π.χ. στους Πυθαγόρειους και στον σεβασμό τους για τον Αριθμό. Στον Πλάτωνα: «Η αριθμητική πόσο έμορφη είναι, άν καταγίνεται κανείς σ' αυτή γιά τή γνώση καί όχι νά τη χρησιμοποιή στις αγοραπωλησίες του ... έχει τήν ιδιότητα νά όδηγή τήν ψυχή κάπου πολύ ψηλά καί τήν αναγκάζει νά φιλοσοφή καί νά συζητή γιά τους καθαυτό αριθμούς» (Πολιτεία 525d). Στον Πρόκλο, για τον οποίο τα 3 είδη γωνιών (οξεία, αμβλεία, ορθή) είχαν θεολογικές προεκτάσεις.
Ήταν άλλο πράγμα τότε τα Μαθηματικά. Όχι αυτό που διδαχθήκαμε εμείς στη σχολή.
Με μια σημαντική διαφορά. Έχουμε τα πάντα από τον Νεύτωνα:
ακριβώς γι αυτό θα έπρεπε να υποψιάζεσαι ότι μάλλον δεν πήγαν κ τόσο μακρυά οι Βαβυλώνιοι. θα ήταν η πρώτη φορά που κάποιος ξεκίνησε κάτι κ το πήγε με τη μία τόσο μακρυά. όπου υπάρχει γραπτό αρχείο, δεν έχει γίνει ποτέ αυτό
Από τους αρχαίους Έλληνες έχουμε τα πάντα δηλαδή; Αυτό υπονοεί ο τρόπος γραφής σου. Η βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας; Ο εφευρέτης του αστρολάβου των Αντικυθήρων; Τα περισσότερα έργα των Ελλήνων φιλοσόφων κι επιστημόνων έχουν χαθεί. Ακόμα κι αν γνώριζαν πχ για τους άρρητους οι Βαβυλώνιοι, η πρώτη καταγεγραμμένη συστηματική απόπειρα επεξεργασίας τους ήταν αυτή του Ευδόξου. Το ίδιο ισχύει και για τα ολοκληρώματα( μέθοδος εξάντλησης). Αν όμως εσύ θέλεις να αποδώσεις χωρίς κανενα στοιχείο την ανακάλυψη της αποδεικτικά μεθόδου στα μαθηματικά στους Βαβυλώνιους ή στους Αιγυπτιους, τότε μπορώ κι εγώ να υποθέσω, χωρίς κανένα στοιχείο, ότι καποιοι αρχαίοι Έλληνες,όπως ο Αρχιμήδης ή ο Απολλώνιος ή η Υπατια στα έργα τους που δεν έχουν σωθεί, ηξεραν τους Νόμους του Κέπλερ ή τη συνδυαστική θεωρία πιθανοτήτων (οστομαχιον Αρχιμήδη). Ο Δημόκριτος εισήγαγε την ατομική θεωρία, όμως αυτό δεν σημαίνει ότι πρέπει να του αποδώσουμε την απόδειξη της ύπαρξης των ατόμων που έγινε το 1905 από τον Αϊνστάιν. Απ' τη στιγμή που δεν ξερουμε το περιεχόμενο των έργων που έχουν χαθεί, βασιζόμαστε σ ο,τι έχει διασωθεί και αποδίδουμε τ ανάλογα. Μπορώ να σου φέρω πολλά παραδείγματα από την αρχαία ελληνική επιστήμη. Πχ ο Αρχιμήδης στην προσπάθεια του να υπολογίσει τον όγκο κυλινδρικής σφήνας χρήσιμοποιησε το εν ενεργεία άπειρο υποθέτοντας ότι το σύνολο των σημείων ενός ευθυγραμμου τμήματος που τέμνει μια παραβολή ισούται με το πλήθος των σημείων της παραβολής μεταξύ των δύο άκρων του τμηματος. Δηλαδή συνέκρινε δύο εν ενεργεια άπειρα μεταξύ τους υποθέτοντας ότι είναι ίσα, που σημαίνει ότι πρόλαβε τη συνολοθεωρια του Καντορ κατά 2200 χρόνια. Αυτό όμως δε σημαίνει ότι πρέπει να αποδοθεί στον Αρχιμήδη η αξιωματική συνολοθεωρια, επειδή μας λείπουν έργα του.
Από τους Έλληνες έχουμε υποδείξεις κι ορφανά σχόλια ενός θαυμασμού που τρέφαν για τη Βαβυλώνα και την Αίγυπτο.
Σ’ ευχαριστώ για το σχόλιο. Μην αγανακτείς με το «χωρίς κανένα στοιχείο». Ο αρχαίος κόσμος είναι χαμένος, όλοι από ελάχιστα κομμάτια του παζλ εικάζουμε για τη μεγάλη εικόνα. Μην ξεχνάς και το κόντεξτ της κουβέντας: απλά ένας τύπος που γράφει το μακρύ και το κοντό του στο ίντερνετ! Ένα μπλογκ μηδαμινής αναγνωσιμότητας, ούτε papers δημοσιεύω, άρθρα, βιβλία κ.λπ., τίποτα δεν αλλάζει στον κόσμο με μένα!
Επέτρεψε σ’ αυτόν τον τύπο να νοσταλγεί μια εποχή που χάθηκε οριστικά. Μια εποχή που τα Μαθηματικά ήταν κάτι άλλο, όχι όπως τα διδαχθήκαμε εμείς, και εντελώς μη–αλγεβρικά. Που οι διδασκαλίες όλες ήταν εσκεμμένα προφορικές, όχι γραπτές (το ξέρεις αυτό, έτσι; Σ’ όλους τους αρχαίους λαούς θα έβρισκες ικανότητες απομνημόνευσης που θα μας άφηναν άφωνους). Πλάτωνας από τον Φαίδρο (275cd): «Γελιέται και αγνοεί τον χρησμό του Άμμωνα όποιος πιστεύει ότι από τον γραπτό λόγο θα προκύψει κάτι βέβαιο, αφού νομίζει ότι ο γραπτός λόγος κάνει κάτι άλλο παρά μόνο να υπενθυμίζει, σ’ αυτόν που ήδη τα ξέρει, τα θέματα στα οποία αναφέρεται»
Κάτι που απαντά και στο θέμα: γιατί έχουμε τόσα λίγα γραπτά τεκμήρια από τους (πολύ) αρχαίους λαούς;
αυτό που φαίνεται να έγινε είναι ότι οι Βαβυλώνιοι συσσώρευσαν παρατηρήσεις κ οι διαίσθησή τους για το πώς γενικεύονται ήταν στην σωστή κατεύθυνση. είναι σίγουρο ότι κανένας δεν ξυπνάει ένα πρωί για να αποδείξει το Πυθαγόρειο θεώρημα αν δεν έχει πειστικές ενδείξεις για το ότι είναι αληθές, και η συσσώρευση ενδείξεων τότε ήταν επίπονη κ απαιτούσε πολλή δουλειά, την οποία την έκαναν οι Βαβυλώνιοι, και πολύ χρόνο.
ΑπάντησηΔιαγραφήαυτό που φαίνεται να ήταν εκτός της εμβέλειας της Βαβυλωνιακής επιστήμης και φαίνεται να ήταν η βασική συμβολή των αρχαίων ελληνικών μαθηματιών, είναι η συστηματοποίηση και η αφαίρεση.
χονδρικά, οι Βαβυλώνιοι και οι Αιγύπτιοι γνώριζαν τριγωνομετρία, αλλά στο επίπεδο της πράξης, την γνώριζαν ως μηχανικοί. είχαν όμως την περιέργεια του μαθηματικού (οι προσεγγίσεις που είχαν για την ρίζα του 2 ή για το πι ξεπερνούσαν κατά πολύ την αναγακαία ακρίβεια για τις κατασκευές τους) και άνοιξαν τον δρόμο για την συστηματοποίηση κ την αφαίρεση απ' τους αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς.
είναι σίγουρο, όπως λες κ συ, ότι είναι έγκλημα κατά της ιστορικής αλήθειας να παρουσιάζεται ως παρθενογένεση η απόδειξη του θεωρήματος απ' τον Πυθαγόρα. η αλήθεια του ήταν γνωστή από αιώνες, αλλά ήταν γνωστή μέσω της ατελούς επαγωγικής μεθόδου.
το ίδιο ισχύει πιθανότατα και για τον ολοκληρωτικό λογισμό. ο Αρχιμήδης έφτασε πολύ κοντά στο παλίμψηστό του, αλλά δεν υπάρχει κανένας λόγος σιγουριάς ότι δεν υπήρξαν απόπειρες πιο πριν, και αν υπάρχουν κ ενδείξεις μπορούμε να είμαστε αρκετά σίγουροι (δυστυχώς δεν έχω πρόσβαση στο άρθρο που αναφέρεις)
Ο Feynman τα εξηγεί ωραία και διασκεδαστικά εδώ
https://www.youtube.com/watch?v=YaUlqXRPMmY
και αν έχεις το κουράγιο κ τα γαλλικά σου το επιτρέπουν, ο μεγάλος μαθηματικός V.I.Arnol'd λέει αντίστοιχα πράγματα εδώ
https://www.youtube.com/watch?v=vBH6w09UYrg
αυτό που φαίνεται να ήταν εκτός της εμβέλειας της Βαβυλωνιακής επιστήμης ... η συστηματοποίηση και η αφαίρεση
ΑπάντησηΔιαγραφήΔεν το πιστεύω! Σόρι, δεν το πιστεύω. Αν συνυπολογίσεις ότι έχουν χαθεί σχεδόν τα πάντα από Βαβυλώνιους, Αιγύπτιους, Σουμέριους, τότε διακαιούμαι να μην το πιστεύω.
Όπως λέει κι αυτός εδώ: "we must be careful to realise that almost all of the mathematical achievements of the Babylonians ... will have been lost and even if these four may be seen as especially important among those surviving they may not represent the best of Babylonian mathematics"
Δεν τους έχω για αφελείς προληπτικούς τους (πολύ) αρχαίους. Ούτε για ανίκανους στον θεωρητικό τρόπο σκέψης και στην αφαίρεση - το ΑΚΡΙΒΩΣ αντίθετο. Απλώς είχαν έναν εντελώς διαφορετικό τρόπο έκφρασης και διατύπωσης από τον δικό μας, πολύ πιο ποιητικό και αλληγορικό απ' ό,τι έχουμε συνηθίσει εμείς σήμερα.
Μη μου βάζεις Feynman, συγνώμη κιόλας. Τα διάβαζα αυτά όταν ήμουν νέος. Τώρα έχω πάρει διαζύγιο μ' όλα τους. Τώρα όσο πιο αρχαίο, τόσο πιο καλό. "Οι παλιότεροι άνθρωποι, που ήταν καλύτεροι από μας και πιο κοντά στους θεούς".
ΥΓ: Στο άρθρο ούτε εγώ έχω πρόσβαση, το abstract μόνο διαβάζω. Αν οι Βαβυλώνιοι υπολόγιζαν το εμβαδό κάτω από την καμπύλη σ' ένα διάγραμμα ταχύτητας - χρόνου για να βρουν τη θέση του Δία, τότε καταλαβαίνω ότι κάναν κάτι σαν αθροίσματα Riemann / ολοκληρώματα
απ' τον τρόπο που φαίνεται να έκαναν τους υπολογισμούς τους, δεν προκύπτει επ' ουδενί (απ' όσο έχω καταλάβει, δεν είμαι ιστορικός των μαθηματικών) να είχαν αξιωματικοποιήσει τα μαθηματικά ή την γεωμετρία και να είχαν τυπικές (formal) αποδεικτικές μεθόδους γενικών θεωρημάτων, κάτι το οποίο (πάλι απ' ό,τι φαίνεται) κατάφεραν πρώτοι οι αρχαίοι έλληνες σ' αυτήν την μεριά του κόσμου.
ΑπάντησηΔιαγραφήστην ίνδία κ την κίνα υπήρχαν επίσης απόπειρες για εξερεύνηση των ίδιων προβλημάτων με παραπλήσιες μεθόδους, σε παραπλήσιους χρόνους (ίσως λίγο νωρίτερα, ίσως λίγο αργότερα, δεν έχει και τόση σημασία)
αυτό δεν μειώνει καθόλου την συμβολή τους και την σημασία της, απλά βάζει τα πράγματα στην ιστορικά σωστή τους κλίμακα και προοπτική. άλλωστε η αφαίρεση, η γενίκευση και η τυποποίηση απαιτούν συσσώρευση μεμονωμένων περιπτώσεων. δεν κατάφερε η ανθρωπότητα να αυτοματοποιήσει την παραγωγή εργαλείων με το που εφήυρε το τσεκούρι. χρειάστηκε να φτιαχτούν πάρα πολλά τσεκούρια για να τεθεί το ζήτημα της αυτοματοποίησης της παραγωγής εργαλείων.
για τα ολοκληρώματα: μπορώ πολύ εύκολα να πιστέψω ότι ήταν η πρώτη έκφανση αυτού του τρόπου υπολογισμού εμβαδών, και είναι εξαιρετικά σημαντικό. αλλά πάλι μπαίνει το ζήτημα της μεθόδου και της γενικευσιμότητας.
δεν θα ήταν πρωτόγνωρο κάποιος να βρεθεί αιώνες μπροστά απ' την εποχή του
ο νεύτωνας, πχ, έκανε υπολογισμούς που ακουμπάνε την ανάλυση φουριέ 2-3 αιώνες πριν υπάρξει η ανάλυση φουριέ. όταν όμως θελήσουμε να αποδώσουμε την κατανόηση του πλήρους βάθους και της σημασίας της ανάλυσης φουριέ στον νεύτωνα, θέλει προσοχή
Με μια σημαντική διαφορά. Έχουμε τα πάντα από τον Νεύτωνα, δεν έχουμε παρά ελάχιστα από τους Βαβυλώνιους. Σαν να προσπαθείς να καταλάβεις ένα παζλ 1000 κομματιών από 40–50 κομμάτια που έτυχε να σωθούν, να ανασυνθέσεις έτσι την εικόνα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαι με μια αβυσσαλέα διαφορά: σε τόσο αρχαϊκές εποχές, τα Μαθηματικά είχαν κοσμική σημασία. Δεν ήταν τα μαθηματικά που συνηθίσαμε εμείς.
Ένας μακρινός απόηχος απ’ αυτήν την αρχαϊκή σπουδαιότητα των Μαθηματικών έμεινε π.χ. στους Πυθαγόρειους και στον σεβασμό τους για τον Αριθμό.
Στον Πλάτωνα: «Η αριθμητική πόσο έμορφη είναι, άν καταγίνεται κανείς σ' αυτή γιά τή γνώση καί όχι νά τη χρησιμοποιή στις αγοραπωλησίες του ... έχει τήν ιδιότητα νά όδηγή τήν ψυχή κάπου πολύ ψηλά καί τήν αναγκάζει νά φιλοσοφή καί νά συζητή γιά τους καθαυτό αριθμούς» (Πολιτεία 525d).
Στον Πρόκλο, για τον οποίο τα 3 είδη γωνιών (οξεία, αμβλεία, ορθή) είχαν θεολογικές προεκτάσεις.
Ήταν άλλο πράγμα τότε τα Μαθηματικά. Όχι αυτό που διδαχθήκαμε εμείς στη σχολή.
Με μια σημαντική διαφορά. Έχουμε τα πάντα από τον Νεύτωνα:
ΑπάντησηΔιαγραφήακριβώς γι αυτό θα έπρεπε να υποψιάζεσαι ότι μάλλον δεν πήγαν κ τόσο μακρυά οι Βαβυλώνιοι. θα ήταν η πρώτη φορά που κάποιος ξεκίνησε κάτι κ το πήγε με τη μία τόσο μακρυά. όπου υπάρχει γραπτό αρχείο, δεν έχει γίνει ποτέ αυτό
Ας μη συνεχίσουμε άλλο την κουβέντα. Κάτι πήρες από μένα, κάτι πήρα από σένα: καταλάβαμε καλύτερα σε ποια σημεία δεν συναντιόμαστε
ΑπάντησηΔιαγραφήΑπό τους αρχαίους Έλληνες έχουμε τα πάντα δηλαδή; Αυτό υπονοεί ο τρόπος γραφής σου. Η βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας; Ο εφευρέτης του αστρολάβου των Αντικυθήρων; Τα περισσότερα έργα των Ελλήνων φιλοσόφων κι επιστημόνων έχουν χαθεί. Ακόμα κι αν γνώριζαν πχ για τους άρρητους οι Βαβυλώνιοι, η πρώτη καταγεγραμμένη συστηματική απόπειρα επεξεργασίας τους ήταν αυτή του Ευδόξου. Το ίδιο ισχύει και για τα ολοκληρώματα( μέθοδος εξάντλησης). Αν όμως εσύ θέλεις να αποδώσεις χωρίς κανενα στοιχείο την ανακάλυψη της αποδεικτικά μεθόδου στα μαθηματικά στους Βαβυλώνιους ή στους Αιγυπτιους, τότε μπορώ κι εγώ να υποθέσω, χωρίς κανένα στοιχείο, ότι καποιοι αρχαίοι Έλληνες,όπως ο Αρχιμήδης ή ο Απολλώνιος ή η Υπατια στα έργα τους που δεν έχουν σωθεί, ηξεραν τους Νόμους του Κέπλερ ή τη συνδυαστική θεωρία πιθανοτήτων (οστομαχιον Αρχιμήδη). Ο Δημόκριτος εισήγαγε την ατομική θεωρία, όμως αυτό δεν σημαίνει ότι πρέπει να του αποδώσουμε την απόδειξη της ύπαρξης των ατόμων που έγινε το 1905 από τον Αϊνστάιν. Απ' τη στιγμή που δεν ξερουμε το περιεχόμενο των έργων που έχουν χαθεί, βασιζόμαστε σ ο,τι έχει διασωθεί και αποδίδουμε τ ανάλογα. Μπορώ να σου φέρω πολλά παραδείγματα από την αρχαία ελληνική επιστήμη. Πχ ο Αρχιμήδης στην προσπάθεια του να υπολογίσει τον όγκο κυλινδρικής σφήνας χρήσιμοποιησε το εν ενεργεία άπειρο υποθέτοντας ότι το σύνολο των σημείων ενός ευθυγραμμου τμήματος που τέμνει μια παραβολή ισούται με το πλήθος των σημείων της παραβολής μεταξύ των δύο άκρων του τμηματος. Δηλαδή συνέκρινε δύο εν ενεργεια άπειρα μεταξύ τους υποθέτοντας ότι είναι ίσα, που σημαίνει ότι πρόλαβε τη συνολοθεωρια του Καντορ κατά 2200 χρόνια. Αυτό όμως δε σημαίνει ότι πρέπει να αποδοθεί στον Αρχιμήδη η αξιωματική συνολοθεωρια, επειδή μας λείπουν έργα του.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑπό τους Έλληνες έχουμε υποδείξεις κι ορφανά σχόλια ενός θαυμασμού που τρέφαν για τη Βαβυλώνα και την Αίγυπτο.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣ’ ευχαριστώ για το σχόλιο. Μην αγανακτείς με το «χωρίς κανένα στοιχείο». Ο αρχαίος κόσμος είναι χαμένος, όλοι από ελάχιστα κομμάτια του παζλ εικάζουμε για τη μεγάλη εικόνα. Μην ξεχνάς και το κόντεξτ της κουβέντας: απλά ένας τύπος που γράφει το μακρύ και το κοντό του στο ίντερνετ! Ένα μπλογκ μηδαμινής αναγνωσιμότητας, ούτε papers δημοσιεύω, άρθρα, βιβλία κ.λπ., τίποτα δεν αλλάζει στον κόσμο με μένα!
Επέτρεψε σ’ αυτόν τον τύπο να νοσταλγεί μια εποχή που χάθηκε οριστικά. Μια εποχή που τα Μαθηματικά ήταν κάτι άλλο, όχι όπως τα διδαχθήκαμε εμείς, και εντελώς μη–αλγεβρικά. Που οι διδασκαλίες όλες ήταν εσκεμμένα προφορικές, όχι γραπτές (το ξέρεις αυτό, έτσι; Σ’ όλους τους αρχαίους λαούς θα έβρισκες ικανότητες απομνημόνευσης που θα μας άφηναν άφωνους). Πλάτωνας από τον Φαίδρο (275cd):
«Γελιέται και αγνοεί τον χρησμό του Άμμωνα όποιος πιστεύει ότι από τον γραπτό λόγο θα προκύψει κάτι βέβαιο, αφού νομίζει ότι ο γραπτός λόγος κάνει κάτι άλλο παρά μόνο να υπενθυμίζει, σ’ αυτόν που ήδη τα ξέρει, τα θέματα στα οποία αναφέρεται»
Κάτι που απαντά και στο θέμα: γιατί έχουμε τόσα λίγα γραπτά τεκμήρια από τους (πολύ) αρχαίους λαούς;